Один из вопросов, который я задал тогда, который так и остался без ответа, был такой: Существуют ли числа на самом деле, как нечто внешнее и независимое от человека, или это лишь плод нашего ума и способ мышления, присущий homo sapiens? Иначе, существуют ли числа объективно или субъективно?

Только через много лет я приблизился к ответу, хотя это и не является окончательным ответом. Продолжим рассуждения о Теореме Геделя (первой). Итак, в аксиоматике Пеано (P) есть утверждение, истинное и недоказуемое, A1. Мы его можем принять в качестве новой аксиомы, получив теорию (P + A1). Однако, можем принять и отрицание утверждения A1, not A1, как аксиому. Это не приведет к противоречию: ведь A1 и not A1 не доказуемы в P. Итак, мы получили две разные теории: (P + A1) и (P + not A1):



Эквивалентны ли эти теории ? Так как A1 на самом деле истинно, то принимая в качестве аксиомы его отрицание, мы получаем плохую теорию, которая является W-противоречивой. Это слабая, нефатальная противоречивость, но достаточно неприятная: в такой теории может оказаться что для любого N доказуемо F(N), но FORALL N: F(N) опровергаемо, что противоречит нашему интуитивному представлению о числах (хотя и не делает теорию противоречивой)

От (P + A1) мы можем снова построить новое недосказуемое высказывание A2, и получим второе ветвление, только одна из ветвей которого будет хорошей, W-непротииворечивой. И так далее. Процесс можно продолжать до бесконечности (интересный вопрос, при увеличении номера итерации этого процесса растет ли также неограниченно длина самого короткого недоказуемого утверждения?)

На картинке вверху путь по белым кружкам есть наша путеводная нить. То есть утверждение может быть и недоказуемым, но на самом деле, они либо истинно либо нет.

В теории множеств же недоказуемые утверждения известны и так. Два из них я изобразил графически:


Операция 'множество всех подмножеств' создает множество с бОльшим числом элементов, бОльшей мощности. Любое конечное множество переводится в множество с большим числом элеменов, однако, счетная мощность является недостижимой: сколько не применяй вышеуказанную операцию к конечному множеству, получится только конечное множество. Счетное множество дает континуум, континуум - множество всех функций, и так далее

А вот и два недоказуемых утверждения

Обобщенная гипотеза континуума (GCH) говорит о том, что есть мощность между счетным и континуумом. 
Второе утверждение говорит о том, что есть и другие недостижимые можности, а не только счетная мощность.

Мы можем принять GCH как истину, и получить один вариант теории множеств. А можем not CGH, и получить другой вариант. А на самом деле, есть такие множества или нет ?

Кое что стало яснее, когда я размышлял о наиболее болезненной аксиоме теории множеств - AC, аксиоме выбора. С точки зрения человека она очевидна: если есть множество, то из него можно выбрать какой то элемент. На самом деле это совсем не очевидно. 

Вещественные числа могут быть обозначены строкой, например, '6.76', или '1/3', или число E 'lim(n->inf, (1+1/n)^^n)'. Сколь ни была бы сложна строка, пусть даже это целая книга, если она однозначно характеризует число, то все ok. Теперь внимание: множество всех строк счетно, а множество всех чисел - континуум. Значит, убрав из множества всех чисел все числа, описанные строками, мы почти ничего не потерям. У нас получилось множество, которое содержит бесконечное количество элементов... но ни один, ни один элемент не привести в качестве примера. 

Это множество содержит бездну чисел, столько бесцветных, столь нехарактерных, столь не имеющих индивидуальных особеннстей, что их даже не назвать. Иначе говоря, для выражения этих чисел надо передать бесконечное количество информации.Я сам придумал это множество, а потом узнал, что его ктото придумал до меня :)

Однако распространим это наблюдение на все множества мощности большей счетного. В таких множествах есть некое ядро (показано синим):


из называемых элементов, приводимых в качестве примера. Красная часть - неназываемые элементы. Когда мы доказали, что Существует элемент X такой что ..., то может оказаться, что подмножество таких элементов выглядит как в случае A или B: то есть, мы можем привести примеры таких элементов. А в случае C строка Exists... чего то там доказана, но, так как нам не дано увидеть ни одного примера, возникает чувство что нас обманули, и теория множеств - это просто игра в строки, не имеющая к реальности никакого отношения.

Как хороший пример случая C приведу парадокс Banach-Tarski: (Молодец Вики, даже по русски):



Парадокс Банаха — Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объем которых равен объему исходного шара радиуса. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объем.
Ввиду своей неправдоподобности, этот парадокс часто используется как довод против принятия аксиомы выбора, которая существенно используется при построении такого разбиения